TP2

Fichiers

Les différents fichiers nécessaires sont ici.

Simulation de lois

Ecrivez une classe Alea qui contient les méthodes suivantes:

int Bernoulli(double p) qui simule une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p
int Dice() qui lance un dé (non truqué)
double Exponentielle(double lambda) qui simule une variable aléatoire exponentielle de paramètre lambda
ìnt Poisson(double lambda) qui simule une variable de Poisson de paramètre lambda
int Binomiale(int n, double p) qui simule une variable aléatoire binomiale de paramètre n,p
int Geometrique(double p) qui simule une variable aléatoire géométrique de paramètre p
double Normale() qui simule une variable aléatoire normale.

On utilisera pour tout cela la fonction Math.random qui fournit un nombre entre 0 (compris) et 1 (non compris) dont on supposera la distribution uniforme (malgré les réserves vues en cours et dans ce TP)

Attention Il y a deux typos dans le cours (au tableau), pour la loi de Poisson et la loi Normale. Il faut remplacer le 1/lambda par lambda dans l'algorithme pour Poisson et le 1/2 par 2 dans l'algorithme final pour la loi Normale. Le PDF sur le web contient les versions correctes.

Espérance et Variance

En utilisant les fonctions définies précédemment, calculer empiriquement l'espérance et la variance des différentes lois (on prendre p = 0.11, n = 20, lambda = 2.2).

N'oubliez pas de tester aussi la loi uniforme !
Pour obtenir l'espérance, on fera 1000 tirages successifs, et on calculera la moyenne des résultats. La loi des grands nombres nous dit que la moyenne converge en effet vers l'espérance.
Pour calculer la variance, on ne peut pas utiliser la formule du cours, puisqu'on ne connaît pas a priori la moyenne, on a uniquement une estimation m de la moyenne. Pour obtenir une bonne estimation de la variance, on calculera la moyenne du carré de la différence entre X et m, mais en divisant par n-1 (donc 999) et non pas par n. L'estimation prend en compte le fait que le nombre de données disponibles n'est plus n mais n-1, puisqu'il a fallu estimer la moyenne. On en parlera un peu plus dans le cours de statistiques.
Comparer avec la théorie en calculant l'erreur absolue (valeur approchée moins valeur réelle)

Histogrammes

On va comparer les résultats obtenus par 1000 tirages aléatoires avec les résultats théoriques.

Pour faire des histogrammes, on examinera le fichier hist.plot qui permet d'afficher deux histogrammes, correspondant à deux fichiers, côte à côte. Pour pouvoir l'utiliser, on a besoin de connaître le "pas" des fichiers data.1 et data.2 qui est contenu dans la variable step. Il faudra donc la changer si nécessaire. Si on veut afficher un seul histogramme plutôt que deux, on enlèvera la derniere ligne et la virgule sur la ligne précédente.

Variables discrètes

Ecrire une fonction qui à partir d'un tableau d'entiers affiche combien de fois chaque nombre apparaît dans la liste.
A partir de cette fonction, pour chacune des lois Bernoulli, Binomiale, Géométrique et Poisson:
- Tirer 1000 valeurs suivant la loi, et utiliser la fonction précédente pour construire un premier histogramme.
- Construire un deuxième histogramme qui dit, pour chaque entier k, combien de fois en moyenne il doit apparaître sur 1000 tirages (c'est donc 1000 P[X=k])
- Utiliser gnuplot pour afficher les deux histogrammes côte à côte
Afficher les deux histogrammes correspondant à Poisson et Binomial côte à côte. Qu'observe-t-on ?
On cherche maintenant à simuler le nombre de buts marqués dans un match du championnat de France de ligue 1 de football par une loi de Poisson de paramètre 2.516 (nombre de buts moyen par match sur la saison 2011-2012).
Ecrire dans un fichier l'histogramme correspondant à l'exécution de 380 (38 journées, 10 rencontres par journées) lancers d'une loi de Poisson de paramètre 2.516. Ecrire dans un deuxième fichier les statistiques officielles pour la saison 2011-2012, ci-dessous et afficher les deux côte à côte.

Buts marqués	Nombre de matches
0	27
1	71
2	114
3	78
4	55
5	21
6	6
7	3
8	4
9	1

Variables continues

Ecrire une fonction qui à partir d'un tableau de réels et d'une taille de pas donnée, regroupe les valeurs par paquets de la taille du pas, puis affiche combien de réels sont dans chaque paquet.
Par exemple, si le tableau est [0.3, 0.6, 0.2, 0.8, 0.1, 0.9, 0.9, 0.92] et que le pas est 0.25, le résultat sera
```
0     2
0.25  1
0.5   1
0.75  4
```
puisqu'il y a 2 nombres entre 0 et 0.25, 1 entre 0.25 et 0.5, etc.

Pour chacune des lois Uniforme, Exponentielle et Normale:
- Tirer 1000 valeurs suivant la loi, et utiliser la fonction précédente pour construire un premier histogramme.
- Construire un deuxième histogramme qui dit, pour chaque intervalle I, combien de fois en moyenne il doit apparaître sur 1000 tirages (Ce n'est pas très difficile pour Uniforme et Exponentielle. Pour la loi Normale, on approchera par 1000 fois la densité au point x de début de l'intervalle)
- Utiliser gnuplot pour afficher les deux histogrammes côte à côte (Pensez à changer le paramètre step dans le fichier plot)

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