Exercice 1: Echarpes

Note: Le TP noté dure 1h20.

Pour chaque question, il est demandé de donner

1. La réponse technique: commande lp_solve lancée, le contenu du fichier .lp etc
2. Une réponse métier: Texte en français répondant à la question ou interprétant les résultats de l'optimisation
   Les réponses doivent être rédigées dans le fichier fichereponse.t2t fourni.
   Les fichiers nécessaires sont ici.
   On s'intéresse ici à un fabricant d'écharpes.
   Le fabricant dispose de laine de couleur bleu ciel, blanche et noire, et fabrique 3 écharpes possibles:

• Marseille
• Naples
• Rome (Lazio)

Les quantités de laines (exprimées en pelote) sont récapitulées dans le tableau suivant

Par ailleurs, le fabricant fait un bénéfice de 25 euros sur l'écharpe de Marseille, de 20 euros sur l'écharpe de Naples, et de 22 euros sur l'écharpe de Rome.

De plus, le fabriquant dispose de 2 machines, chacune pouvant produire jusqu'à 100 écharpes par jour.

Le fabriquant cherche à savoir quelles écharpes produire pour maximiser son profit.

1. Montrer que ce problème peut être modélisé par le fichier .lp suivant. En particulier, précisez à quoi correspond chacune des variables et des contraintes.

   max:  25 x1 + 20 x2 + 22 x3;
   x1 + x2 + x3 <= 200;
   x1 + 1.1x2 + 1.2 x3<= 250;
   1.3x2 + 1.1x3 <= 200;
   0.4x1 + 0.3x2 + 0.2x3 <= 50;
   int x1,x2,x3;
   

2. Décrire le plan de production optimal.

3. Il y a un type d'écharpe qui n'est pas produit par le plan de production optimale. Laquelle ? Dire à quel prix elle doit être vendue pour que le plan de production change.
   Dans toute la suite, on suppose que le prix de vente de l'écharpe de Naples a augmenté de 6 euros (donc le profit est maintenant de 26 euros). La nouvelle modélisation est donc :

   max:  25 x1 + 26 x2 + 22 x3;
   x1 + x2 + x3 <= 200;
   x1 + 1.1x2 + 1.2 x3<= 250;
   1.3x2 + 1.1x3 <= 200;
   0.4x1 + 0.3x2 + 0.2x3 <= 50;
   int x1,x2,x3;
   

4. Décrire le nouveau plan de production optimal.

5. Décrire le plan de production optimal dans l'hypothèse où x1, x2,x3 sont réels. Comparer les deux plans de production. Dans la suite de l'exercice, on suppose que x1, x2 et x3 sont reels.
6. Déterminer les coûts marginaux (prix fictifs) de chacune des ressources
7. Déterminer la ou les ressources critiques
8. Proposer une analyse de sensibilité pour les trois coefficients de l' objectif et les quatre coefficients des seconds membres des contraintes.
9. Le marchand de pelotes fait une offre spéciale: pour 500 pelotes achetées, une offerte. Comme on achète exactement 500 pelotes (250+200+50), on a donc le droit à une pelote gratuite. De quelle couleur doit-on choisir cette pelote ?
   On examine dans les questions suivantes 4 scénarios différents, à traiter indépendamment.

10. Le fabricant souhaite se lancer sur le marché des écharpes pour l'équipe d'Argentine. Une telle écharpe nécessiterait 1 pelote de blanc, une de noir et une demie pelote de bleu, et coûterait 5 euros à fabriquer. A quel prix doit-on la vendre pour qu'il soit intéressant d'en fabriquer ?

11. Le fabricant achète une nouvelle machine à 5000 euros. Au bout de combien de temps sera-t-elle rentabilisée ?

12. On renégocie complètement le contrat du marchand de pelotes. On achète toujours 500 pelotes par jour, mais on peut maintenant changer la répartition. On peut par exemple choisir d'acheter 100 pelotes blanches, 337 noires et 63 bleues. Trouver quelles pelotes il faut acheter pour maximiser le profit du fabricant. (Aide: introduire 3 nouvelles variables, représentant le nombre de pelotes de chaque type qu'on achète. Ces nouvelles variables apparaîtront dans les contraintes, mais pas dans l'objectif)

13. L'Olympique de Marseille propose au fabricant un nouveau contrat: L'OM accepte que l'écharpe devienne l'écharpe officielle du club, ce qui permettrait au fabricant de la vendre 5 euros de plus, mais pour cela il faut que la production d'écharpes de Marseille représente au moins 50% des écharpes produites par le fabricant. La proposition est-elle intéressante ?