Consignes

Le TP noté dure 1h30. Le travail doit être effectué seul. Il est possible de récupérer des fichiers venant des TPs précédents. L'usage d'internet est restreint arche, ainsi qu'aux sites mentionnés dans le sujet.

Les réponses aux questions doivent être effectuées dans le fichier fichereponse.t2t fourni. C'est le seul fichier qui doit être rendu sur arche.

Pour chaque question, il est demandé de donner

1. La réponse technique: commande lp_solve lancée, le contenu du fichier .lp etc
2. Une réponse métier: Texte en français répondant à la question ou interprétant les résultats de l'optimisation

Le rendu du TP noté doit se faire sur arche

Les fichiers nécessaires à la résolution des questions sont ici.

Tout non-respect des consignes sera sanctionné. En particulier, si le travail n'a pas été effectué seul, une pénalité d'un minimum de 20 points sera appliquée.

Le problème

L'association Noël des Hôpitaux organise chaque année une journée de ventes de produits alimentaires, d'habitude devant l'amphi 13. Cet année, le stand sera également mis en place lors des examens, en respectant évidemment toutes les précautions sanitaires nécessaires.

L'association dispose de pommes, de sucre, de farine et de beurre et décide de vendre des chaussons aux pommes, des parts de crumbles aux pommes, et des parts de tartes aux pommes.

Plus exactement, elle dispose de:

• 15 kg de pommes
• 9 kg de farine
• 500g de sucre
• 7kg de beurre
  Le chausson aux pommes, la part de tarte, et la part de crumble sont tous trois vendus 50 centimes. L'association cherche principalement à maximiser son profit, qu'elle redistribuera aux hôpitaux.

Recettes

Les recettes suivantes ne prennent pas en compte l'eau nécessaire à la confection des différentes pâtes.

Première partie

1. On propose deux modélisations différentes du problème. La première (modele.lp):

   max: .5 x1 + .5 x2 + .5x3;
   a: 40x1 + 30x2 + 15x3  < 9000;
   b: 34x1 + 25.5x2 + 15x3 <  7000;
   c:          2.5x2  + 17 x3   < 500;
   d: 65x1 + 60x2 + 48x3 < 15000;
   int x1,x2,x3;
   

   La deuxième (modele2.lp):

   max: 3  x1 + 4 x2 + 3x3;
   a: 240x1 + 240x2 + 90x3  < 9000;
   b: 204x1 + 204x2 + 90x3 <  7000;
   c:          20x2  + 102 x3   < 500;
   d: 390x1 + 480x2 + 288x3 < 15000;
   int x1,x2,x3;
   

   Expliquer les deux modélisations. En particulier, précisez à quoi correspond chacune des variables et des contraintes. On expliquera en détail les coefficients de la troisième contrainte.

2. Décrire le plan de production optimal pour les deux modélisations. Expliquer d'où proviennent les différences.
   Dans toute la suite, on se concentre sur la première modélisation (modele.lp).

3. Renommer les variables et les labels (a:,b:,c:) du fichier .lp pour avoir des noms plus significatifs. Ces nouveaux noms devront être utilisés dans toute la suite.

4. Décrire le plan de production optimal dans l'hypothèse où x1, x2,x3 sont réels. Comparer brièvement les deux plans de production.
   Dans la suite de l'exercice, on suppose que x1, x2 et x3 sont réels.

5. L'une des trois pâtisseries n'est actuellement pas produite. Laquelle ? A quel prix minimum doit-on la vendre pour qu'il soit intéressant d'en produire ?
   On suppose dans toute la suite que le prix de la part de crumble est désormais de 1 euro.

6. Décrire le nouveau plan de production optimal, d'abord avec des variables entières puis avec des variables réelles.
7. Déterminer les coûts marginaux (prix fictifs) de chacune des ressources
8. Déterminer la ou les ressources critiques
9. Proposer une analyse de sensibilité pour les trois coefficients de l' objectif et les quatre coefficients des seconds membres des contraintes.
10. Un stand concurrent vend des crêpes, ce qui nécessite également de la farine, et un peu de sucre. Est-il intéressant d'acheter à leur stand du sucre et de la farine ? Si oui, à quel prix (au kg) ? Quelle quantité au maximum ?
11. Dans cette question, et uniquement dans cette question, on s'intéresse à une troisième modélisation du problème, présentée dans le fichier modele3.lp, inspirée de la modélisation du fichier modele2.lp:

    max: 3  x1 + 4 x2 + 3x3;
    a: 240x5 + 90x3  < 9000;
    b: 204x5 + 90x3 <  7000;
    c: 90x3 + 40x4   < 500;
    d: 390x1 + 960x4 < 15000;
    e: .5x2 + .3 x3 <= x4;
    f: x1 + x2 <= x5;
    int x1,x2,x3,x5;
    

    Expliquer cette modélisation, en particulier les variables et contraintes. On expliquera en particulier (a) pourquoi toutes les variables à l'exception de x4 sont entières (b) ce qui a changé dans les trois premières contraintes et ce que représente les deux dernières.