Vous trouverez ici les différents fichiers dont vous avez besoin pour commencer.

Loi normale

La loi normale centrée réduite est la loi de densité f(x) = exp(-x^2/2)/sqrt(2 pi). Cela veut donc dire que la probabilité que X soit inférieur à t est l'intégrale de -infini à t de f(x), et la probabilité que X soit compris entre t1 et t2 est l'intégrale entre t1 et t2 de f(x).

1. Ecrire une fonction d(double x) (On utilisera les fonctions Math.sqrt et autres) qui donne la densité en x.
   Pour chercher à calculer F(t), la probabilité que X soit inférieur à t, on propose trois méthodes, qui ne marchent que quand t est positif.

• Calculer l'intégrale de 0 à t et ajouter 1/2 (l'intégrale de -infini à 0). Pour cela, on découpera l'intervalle de 0 à t en 1000 bouts, et on approchera l'intégrale sur chaque bout [x,y] par (y-x)*(f(x)+f(y))/2
• Utiliser la formule suivante : F(t) = 1/2 + f(t) (t + t^3/3 + t^5/(3*5) + t^7/ (3*5*7) + ...) On arrêtera le calcul de la somme infinie lorsque le nouveau terme n'apporte plus rien à la somme.
• Utiliser l'approximation suivante: F(t) = 1 - f(t) (0.319381530 z −0.356563782 z^2 + 1.781477937 z^3 −1.821255978 z^4 + 1.330274429 z^5) dans laquelle z désigne : 1/(1 + 0.2316419*t)

1. Ecrire la fonction normale(double t) qui donne la probabilité que X soit inférieur à t. On utilisera en priorité la première méthode, puis la deuxième ou la troisième, suivant le temps restant. Attention, les trois méthodes ne sont valides que si t est positif. Il faut aussi traiter correctement le cas où t est négatif.

2. Ecrire une fonction inverse(double e) qui renvoie la valeur de t tel que P(-t < X < t) = e. Pour trouver t, on procédera par dichotomie et on cherchera t dans l'intervalle [0,8].

Statistiques

1. Ecrire un programme qui prend en entrée un fichier de données représentant un échantillon de population (de taille suffisante pour qu'on puisse supposer qu'il suive une loi normale) et qui renvoie moyenne (avec intervalle de confiance à 95%) et variance. On utilisera le programme effectué dans la première partie pour trouver la bonne "constante" à utiliser pour l'intervalle de confiance.