Repr\u00e9senter les objets g\u00e9om\u00e9triques par des maillages permet de simuler leur comportement physique. En effet, ils d\u00e9finissent le domaine des fonctions de bases utilis\u00e9es par la m\u00e9thode des \u00e9l\u00e9ments finis. Leur g\u00e9n\u00e9ration peut prendre jusqu\u2019\u00e0 <\/span>80% <\/span>du temps d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la simulation comme l\u2019atteste un rapport technique de la NASA [SKA<\/span>+<\/span>14]. Le cas de maillages tetrah\u00e9draux peut \u00eatre en grande partie automatis\u00e9 gr\u00e2ce \u00e0 des algorithmes efficaces et robustes [Si15], capables de mailler des domaines quelconques. Malheureusement, certains types de simulations ne fonctionnent pas avec les maillages tetrah\u00e9draux, mais avec les maillages hexah\u00e9draux. Ces derniers pr\u00e9sentent en effet des sp\u00e9cificit\u00e9s qui peuvent \u00eatre exploit\u00e9es par les optimiseurs: ils permettent de d\u00e9finir des bases de fonctions par produit tensoriels, ils peuvent \u00eatre align\u00e9s avec l\u2019anisotropie de la simulation, leur structure permet de ne pas expliciter toute la combinatoire du maillage (et les matrices qui en d\u00e9rivent), etc. Par contre, le fait qu\u2019ils soient tr\u00e8s structur\u00e9s les rend aussi plus difficiles \u00e0 g\u00e9n\u00e9rer avec des approches d\u2019\u00e9ditions locales comme celles utilis\u00e9es pour les maillages tetrah\u00e9draux. Une solution alternative consiste \u00e0 prendre en compte la structure du maillage en consid\u00e9rant qu\u2019il ressemblera presque partout \u00e0 une grille d\u00e9form\u00e9e. Ainsi, on va pouvoir optimiser num\u00e9riquement les d\u00e9formations de la grille et la fa\u00e7on dont elle se recollera sur elle-m\u00eame pour couvrir la majeure partie du domaine. Cette approche par param\u00e9trisation globale donne des r\u00e9sultats impressionnants sur quelques objets g\u00e9om\u00e9triques, ce qui est encourageant, mais pas encore suffisant pour de l\u2019analyse num\u00e9rique. Mon objectif est de produire des maillages hexah\u00e9draux exploitables pour simuler de la physique. Pour ce faire, je vais conserver cette id\u00e9e d\u2019optimiser le placement d\u2019une grille pour remplir une forte proportion du domaine avec une structure simple, que je compl\u00e9terais par d\u2019autres algorithmes capables de prendre en compte les contraintes des applications, et les limites de cette approche. Concr\u00e8tement, je vais aborder le probl\u00e8me selon trois axes: mieux sp\u00e9cifier les besoins des applications, mettre au point d\u2019autres algorithmes de remaillage dans lesquels le placement de grille ne serait qu\u2019une brique de base, et am\u00e9liorer les algorithmes de param\u00e9trisation globale. Une vue pragmatique des param\u00e9trisation globales Repr\u00e9senter les objets g\u00e9om\u00e9triques par des maillages permet de simuler leur comportement physique. En effet, ils d\u00e9finissent le domaine des fonctions de bases utilis\u00e9es par la m\u00e9thode des \u00e9l\u00e9ments finis. Leur g\u00e9n\u00e9ration peut prendre jusqu\u2019\u00e0 80% du temps d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la simulation comme l\u2019atteste un rapport technique de la […]<\/p>\n","protected":false},"author":183,"featured_media":0,"parent":22,"menu_order":1,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-247","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/247","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/users\/183"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=247"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/247\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":320,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/247\/revisions\/320"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/22"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=247"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n<\/span>\u2022 <\/span>D\u00e9finir des crit\u00e8res de qualit\u00e9 pour les maillages hexah\u00e9draux<\/span>. Dans notre communaut\u00e9 scientifique, nous n\u2019avons pas de crit\u00e8res objectifs pour \u00e9valuer la qualit\u00e9 des maillages hexah\u00e9draux. Ce probl\u00e8me induit que l\u2019on juge les r\u00e9sultats r\u00e9cents avec des crit\u00e8res tr\u00e8s subjectifs, et que l\u2019on ne sait pas comment orienter nos recherches. Pour sortir de cette situation, il est n\u00e9cessaire de d\u00e9finir clairement ce que sont les d\u00e9fis \u00e0 relever, au moins pour un \u00e9chantillons des applications envisag\u00e9es. Les analyses que nous avons r\u00e9alis\u00e9es avec M. Reberol nous ont montr\u00e9 qu\u2019il n\u2019y a pas de b\u00e9n\u00e9fices significatifs \u00e0 utiliser des maillages hexah\u00e9draux (plut\u00f4t que t\u00e9trah\u00e9draux) pour les probl\u00e8mes simples tels que la diffusion de la chaleur ou l\u2019\u00e9lasticit\u00e9 lin\u00e9aire. En discutant avec des utilisateurs de maillages hexah\u00e9draux (J.F Remacle, F. Ledoux et P. Helluy), il semblerait que les avantages des maillages hexah\u00e9draux ne soient significatifs qu\u2019avec des probl\u00e8mes difficiles, dont nous ne pourront probablement pas d\u00e9velopper de simulateurs en interne. La d\u00e9finition des besoins va donc demander des interactions fortes avec des partenaires
\ncapables d\u2019exploiter nos maillages et d\u2019analyser leur ad\u00e9quation avec l\u2019application vis\u00e9e. Nous avons actuellement trois coop\u00e9rations:
\n<\/span>\u2013 <\/span>Je travaille avec W.C. Li, un sp\u00e9cialiste de la mod\u00e9lisation du sous sol, qui est en train de cr\u00e9er une start-up dont le but est de transf\u00e9rer les outils de remaillage que nous avons d\u00e9velopp\u00e9 dans l\u2019\u00e9quipe ALICE. Plus particuli\u00e8rement, il utilise des maillages \u00e0 dominance hexah\u00e9drale pour des simulations g\u00e9o-m\u00e9caniques de r\u00e9servoirs de gaz et de p\u00e9trole. D\u2019un point de vue scientifique, ce cas introduit de nouveaux type de contraintes (alignements avec les failles et les horizons), et autorise certains types de non conformit\u00e9s que je n\u2019avais pas envisag\u00e9es jusqu\u2019alors. Je suis en train d\u2019adapter nos algorithmes pour pouvoir traiter ces donn\u00e9es, ce qui est aussi une source d\u2019inspiration pour le traitement les autres mod\u00e8les.
\n<\/span>\u2013 <\/span>Je travaille avec F. Ledoux (CEA) sur la g\u00e9n\u00e9ration de maillages hexah\u00e9draux qui puissent \u00eatre utilis\u00e9s dans leurs simulations. Nous allons co-encadrer un doctorant, et nous sommes en train de monter un projet ANR sur le probl\u00e8me du remaillage hexah\u00e9dral. Scientifiquement, les donn\u00e9es et les r\u00e9sultats attendus sont assez proches de ceux avec lesquels je travaille habituellement, ce qui permet de plus se concentrer sur les aspects de robustesse et d\u2019am\u00e9lioration de la qualit\u00e9 du maillage.
\n<\/span>\u2013 <\/span>Les maillages utilis\u00e9s par P. Helluy de l\u2019\u00e9quipe TONUS \u00e0 Strasbourg pour les simulations num\u00e9riques de plasma sont aussi hexah\u00e9draux, mais ils ont des crit\u00e8res de qualit\u00e9 assez originaux li\u00e9s \u00e0 la mani\u00e8re dont sont calcul\u00e9es les matrices de leur simulations. Par exemple, les hexa\u00e8dres dont les faces sont parall\u00e8les deux \u00e0 deux induisent des entr\u00e9es nulles dans la matrice et b\u00e9n\u00e9ficient ainsi d\u2019acc\u00e9l\u00e9rations importantes durant les calculs.
\nL\u2019\u00e9tude des besoins n\u2019induit pas uniquement des adaptations de notre logiciel pour certaines applications; c\u2019est surtout une mani\u00e8re d\u2019orienter mes recherches de sorte \u00e0 ce qu\u2019elles soient exploitables, et de partager des intuitions\u00a0<\/span>entre les divers contextes applicatifs.
\n<\/span>\u2022 <\/span>Replacer les param\u00e9trisations globales dans le processus de remaillage. <\/span>Positionner une grille par optimisation num\u00e9rique permet de remailler directement des objets simples avec des hexa\u00e8dres. Par contre, les endroits qui n\u00e9cessitent un maillage dont la combinatoire est plus complexe qu\u2019une grille d\u00e9form\u00e9e (pour satisfaire les contraintes de bord) ne peuvent pas \u00eatre trait\u00e9s par cette approche. De plus, la rigidit\u00e9 (combinatoire) de la structure de grille va propager ces erreurs dans une grande partie du maillage. Pour \u00e9viter ce genre d\u2019\u00e9cueils, je pense que ces m\u00e9thodes doivent s\u2019inscrire dans un processus de remaillage (\u00e9ventuellement interactif) plut\u00f4t que de chercher \u00e0 s\u2019y substituer.
\nJe sais d\u2019ores et d\u00e9j\u00e0 g\u00e9n\u00e9rer des maillages \u00e0 dominance hexah\u00e9drale [RSR<\/span>+<\/span>18, SRUL16] en traitant, a posteriori, les zones dans lesquelles la param\u00e9trisation a \u00e9chou\u00e9. Cette approche rend le processus robuste, mais il serait pr\u00e9f\u00e9rable de traiter les contraintes incompatibles a priori, pour emp\u00eacher qu\u2019elles ne d\u00e9t\u00e9riore la param\u00e9trisation globale sur une zone bien plus \u00e9tendue. Ce nouveau point de vue am\u00e8ne d\u2019int\u00e9ressantes questions th\u00e9oriques quand aux conditions sous lesquelles les contraintes de bord peuvent \u00eatre satisfaites par une grille d\u00e9form\u00e9e. Nos premi\u00e8res investigations dans le cas des param\u00e9trisations sans singularit\u00e9 (polycubes) [SR15] donnent un cadre th\u00e9orique dans lequel je pourrait aborder le cas g\u00e9n\u00e9ral. Ainsi, j\u2019esp\u00e8re pouvoir g\u00e9rer les parties ambigu\u00ebs de la combinatoire lors de pr\u00e9-traitements plut\u00f4t que de laisser ces incertitudes perturber le positionnement de la grille.
\nLes grilles contiennent deux types d\u2019informations. Les informations topologiques sont encod\u00e9es par la combinatoire du maillage et r\u00e9pondent aux questions telles que: comment la grille se recolle-t-elle sur elle m\u00eame, combien de couches d\u2019hexa\u00e8dres y a-t-il entre deux surfaces du bord, etc. D\u2019autre part, les informations g\u00e9om\u00e9triques donnent la position des hexah\u00e8dres dans l\u2019espace. Extraire directement les hexa\u00e8dres comme \u00e9tant les cellules des grilles exploite toute l\u2019information mais, de ce fait, requi\u00e8re aussi que la g\u00e9om\u00e9trie soit suffisamment bonne (pas de retournements). Une approche alternative consiste a extraire des repr\u00e9sentations plus abstraites qui capturent bien la structure du maillage, mais qui soient moins sensibles \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie. J\u2019ai obtenus des r\u00e9sultats pr\u00e9liminaires prometteurs en extrayant des surfaces (le <\/span>spatial twist continuum<\/span>) de la grille d\u00e9form\u00e9e, et en fusionnant les surfaces redondantes (d\u2019un point de vue structurel). La structure ainsi obtenue est tr\u00e8s similaire au dual d\u2019une d\u00e9composition
\npar bloc hexah\u00e9dral, de laquelle j\u2019esp\u00e8re pouvoir d\u00e9river d\u2019excellents maillages hexah\u00e9draux.
\n<\/span>\u2022 <\/span>Am\u00e9liorer les algorithmes de param\u00e9trisation globale <\/span>Actuellement, ces algorithmes permettent de positionner des grilles dans des objets g\u00e9om\u00e9triquement simples et dont la structure interne (le graphe de singularit\u00e9) peut \u00eatre relativement basique. Je souhaite pouvoir traiter d\u2019avantage de configurations en am\u00e9liorant trois aspects des m\u00e9thodes actuelles:
\nL\u2019orientation des grilles est habituellement prescrite en minimisant la courbure d\u2019un champ de direction. Malheureusement, cette heuristique ne fournit pas toujours des courbes de singularit\u00e9s qui puissent \u00eatre int\u00e9gr\u00e9es par la param\u00e9trisation. Je vais essayer d\u2019int\u00e9grer des contraintes dans la g\u00e9n\u00e9ration des champs de direction de sorte \u00e0 limiter ces configuration inexploitables pour le remaillage. Pour aborder le probl\u00e8me, j\u2019ai pu caract\u00e9riser les courbes de singularit\u00e9s valides dans le cas continu: la permutation d\u2019axes le long de cycles \u00e9l\u00e9mentaires autour de la singularit\u00e9 pr\u00e9serve l\u2019un des axes, qui est tangent \u00e0 la singularit\u00e9. Je vais donc essayer d\u2019assurer cette condition (n\u00e9cessaire) avec un processus en deux \u00e9tapes: la d\u00e9finition d\u2019un champ de vecteur localement stable, suivit de la d\u00e9finition des deux autres axes par un champs de direction 2.5D (2D advect\u00e9 par le champ de vecteur stable).
\nLa combinatoire de la grille est caract\u00e9ris\u00e9e par un jeu de coefficients entiers dont les valeurs sont actuellement fix\u00e9es de sorte \u00e0 optimiser un crit\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique: la forme des hexa\u00e8dres doit \u00eatre la plus proche possible de celle prescrite par le champ de direction. Ainsi, le nombre de couches d\u2019hexa\u00e8dres entre deux surfaces est d\u00e9termin\u00e9
\nuniquement par la taille des hexa\u00e8dres que l\u2019on souhaite g\u00e9n\u00e9rer, et ne cherche pas explicitement \u00e0 \u00e9viter que la grille soit d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e. En pratique, il arrive fr\u00e9quemment que le solveur choisisse d\u2019allouer un nombre n\u00e9gatif ou nul de couche d\u2019hexa\u00e8dres entre deux contraintes (bord de l\u2019objet, contrainte interne ou singularit\u00e9), ce qui implique que la param\u00e9trisation y sera inexploitable. Je vais \u00e9tudier comment injecter des contraintes de positivit\u00e9 strictes dans ces cas, ce qui est un probl\u00e8me extr\u00eamement complexe car les d\u00e9g\u00e9n\u00e9rescences sont caus\u00e9es par des interactions subtiles entre les diff\u00e9rents degr\u00e9s de libert\u00e9s du syst\u00e8me. Mon exp\u00e9rience du cas surfacique donne cependant des pistes prometteuses, notamment gr\u00e2ce \u00e0 la notion des <\/span>motorcycle graphs<\/span>, que l\u2019on pourrait \u00e9tendre au cas volumique.
\nLe crit\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique que l\u2019on optimise actuellement pour positionner la grille permet de contr\u00f4ler la taille moyenne des hexa\u00e8dres, mais n\u2019assure pas la bijectivit\u00e9 (m\u00eame locale) des param\u00e9trisations. Consid\u00e9rer d\u2019autres crit\u00e8res, comme nous l\u2019avions fait en 2D [LPRM02], permettrait sans doute d\u2019am\u00e9liorer la robustesse du processus. Je pense garder le crit\u00e8re actuel pour fixer les degr\u00e9s de libert\u00e9s qui contr\u00f4lent la combinatoire, mais en essayer d\u2019autres pour am\u00e9liorer la g\u00e9om\u00e9trie.
\nLe positionnement automatique de grilles est une approche tr\u00e8s efficace, mais qui n\u2019est pas directement exploitable dans les applications. Je souhaite franchir ce cap, en coop\u00e9rant sur des cas d\u2019utilisation de ces maillages, ce qui permettra de mieux d\u00e9finir les objectifs et de trouver de nouvelles fa\u00e7ons de les atteindre. Je compte mener \u00e0 bien mon projet de recherche en travaillant en \u00e9troite collaboration avec D. Sokolov, dans le cadre de la nouvelle \u00e9quipe Inria qu\u2019il dirigera et qui prendra la suite de l\u2019\u00e9quipe ALICE<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"