Pr\u00e9sentation g\u00e9n\u00e9rale du domaine:<\/strong><\/p>\n En informatique, les surfaces sont g\u00e9n\u00e9ralement repr\u00e9sent\u00e9es par des maillages triangul\u00e9s car ces derniers sont faciles \u00e0 g\u00e9n\u00e9rer, \u00e0 \u00e9diter et \u00e0 afficher. Cependant, pour \u00e9valuer des propri\u00e9t\u00e9 diff\u00e9rentielles (d\u00e9riv\u00e9es, courbure, etc.) ou repr\u00e9senter des champs (scalaires vectoriels, etc.) sur la surface, il est pr\u00e9f\u00e9rable d’utiliser une repr\u00e9sentation param\u00e9trique (e.g. splines) dans laquelle la surface est une partie de l’image d’une fonction continue de f:R2<\/sup> \u2190 R3<\/sup>. On peut b\u00e9n\u00e9ficier des avantages des deux repr\u00e9sentations en munissant une surface triangul\u00e9e d’un domaine param\u00e9trique. Pour ce faire, un algorithme dit de param\u00e9trisation va d\u00e9finir pour chaque triangle sa pr\u00e9-image dans 2<\/sup>. Classiquement, ces algorithmes pr\u00e9servent les adjacences des triangles dans le domaine param\u00e9trique, ce qui limite leur utilisation \u00e0 une petite classe de surfaces (disque topologique avec faible courbure Gaussienne). Afin de traiter d’avantage de surfaces, nous acceptons que la fonction inverse poss\u00e8de un certain type de discontinuit\u00e9 (conservation de grille), qui n’impacteront pas certaines applications telles que le remaillage en quadrangles [3] ou le stockage de couleur sans coutures apparentes [4].<\/p>\n Objectifs du stage:<\/strong><\/p>\n La g\u00e9n\u00e9ration de param\u00e9trisation globale (avec discontinuit\u00e9) fonctionne en deux \u00e9tapes (voir [2] et la Figure): la g\u00e9n\u00e9ration d’un champ de direction, puis l’int\u00e9gration de ce champ de direction. Pour la premi\u00e8re \u00e9tape, le probl\u00e8me est \u00e9quivalent \u00e0 minimiser le carr\u00e9 de la variation d’angle d’un champ de vecteur unitaire tangent \u00e0 la surface. Il s’agirait d’un simple probl\u00e8me de Dirichlet s’il n’y avait pas la contrainte de norme unitaire sur les vecteurs. Malheureusement, dans le cas continu, cette contrainte fait diverger la fonction objectif pr\u00e8s des singularit\u00e9s du champ, or ces derni\u00e8res sont n\u00e9cessaires pour un grand nombre de surfaces (th\u00e9or\u00e8me de la boule chevelue, th\u00e9or\u00e8me de Poincar\u00e9-Hopf). Une solution pragmatique est de ne consid\u00e9rer l’\u00e9nergie que le long des ar\u00eates du maillage, ce qui fait sortir les singularit\u00e9s du domaine d’int\u00e9gration (elles seront \u00e0 l’int\u00e9rieur des triangles). Cette solution fonctionne relativement bien [2], mais rend le processus fortement d\u00e9pendant du maillage, et non pas seulement de la g\u00e9om\u00e9trie de la surface. R\u00e9cemment, Beaufort et al<\/em> [1] ont propos\u00e9 une discr\u00e9tisation par \u00e9l\u00e9ments finis de la formulation continue qui est beaucoup plus forte d’un point de vue th\u00e9orique. Leur approche s’inspire la th\u00e9orie de Ginzburg-Landau, initialement introduite pour d\u00e9finir les vortex dans les champs magn\u00e9tiques.<\/p>\n \u00c9tant donn\u00e9 que la seconde \u00e9tape (int\u00e9gration du champs) requiert l’optimisation d’une fonction dont l’expression est extr\u00eamement similaire \u00e0 la premi\u00e8re, nous pourrons probablement la traiter avec une approche semblable. Le travail consistera donc \u00e0 bien comprendre les travaux de lissage de champs de vecteurs unitaires, et \u00e0 les transposer (en ajoutant un terme \u00e0 droite) au cas de la param\u00e9trisation globale. Cette formulation continue permettrait de replacer le probl\u00e8me de la param\u00e9trisation globale dans un cadre plus rigoureux, dans lequel on pourrait sans doute obtenir de meilleurs r\u00e9sultats.\\\\<\/p>\n R\u00e9f\u00e9rences bibliographiques:<\/strong><\/p>\n [1] Pierre-Alexandre Beaufort, Jonathan Lambrechts, Fran\u00e7ois Henrotte, Christophe Geuzaine, Jean-Fran\u00e7ois Remacle. Computing cross fields – A PDE approach based on the Ginzburg-Landau theory. arXiv:1706.01344 Comp\u00e9tences esp\u00e9r\u00e9es:<\/strong> Formulation \u00c9l\u00e9ments finis pour les Param\u00e9trisations Globales P\u00e9riodiques propos\u00e9 avec Laurent Alonso \u00e0 des \u00e9tudiants en cursus math appli\u00a0\u00e0 BAC+4\/5 Pr\u00e9sentation g\u00e9n\u00e9rale du domaine: En informatique, les surfaces sont g\u00e9n\u00e9ralement repr\u00e9sent\u00e9es par des maillages triangul\u00e9s car ces derniers sont faciles \u00e0 g\u00e9n\u00e9rer, \u00e0 \u00e9diter et \u00e0 afficher. Cependant, pour \u00e9valuer des propri\u00e9t\u00e9 diff\u00e9rentielles (d\u00e9riv\u00e9es, courbure, […]<\/p>\n","protected":false},"author":183,"featured_media":0,"parent":22,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-254","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/254","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/users\/183"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=254"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/254\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":330,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/254\/revisions\/330"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/22"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=254"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"null\"](\"https:\/\/members.loria.fr\/NRay\/files\/sujets\/ginzburb.png\")
\nLa premi\u00e8re \u00e9tape d\u00e9finit un champ de vecteur (\u00e0 gauche), puis la seconde int\u00e8gre ce champs (au milieu). On remarque sur les zooms du pouce que la discr\u00e9tisation ne permet pas de capturer correctement les singularit\u00e9s. En pratique, quatre champs de vecteurs inter-connect\u00e9s sont int\u00e9gr\u00e9s simultan\u00e9ment pour obtenir la param\u00e9trisation globale (\u00e0 droite).}<\/p>\n
\n[2] Nicolas Ray, Wan Chiu Li, Bruno L\u00e9vy, Alla Sheffer, Pierre Alliez. Periodic Global Parameterization. ACM TOG 2006.
\n[3] Felix K\u00e4lberer Matthias Nieser Konrad Polthier. QuadCover – Surface Parameterization using Branched Coverings. octobre 2007.
\n[4] Ray Nicolas, Nivoliers Vincent, Lefebvre Sylvain, L\u00e9vy, Bruno. Invisible Seams. EGSR 2010.<\/p>\n
\nLa principale qualit\u00e9 attendue est l’envie d’apprendre et de travailler en \u00e9quipe. D’autre part, il sera n\u00e9cessaire d’\u00eatre suffisamment \u00e0 l’aise en math\u00e9matique et en informatique pour comprendre [1] et l’implanter. Le code devrait \u00eatre assez simple puisqu’il s’agit essentiellement de construire les matrices et les vecteurs correspondants \u00e0 la discr\u00e9tisation du probl\u00e8me. Le choix du langage de programmation est libre, mais je sugg\u00e9rerais par d\u00e9faut du C++ ou du python.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"