La tour de Stockmeyer

Cet atelier Math-en-Jeans 2017-2018 est réalisé avec les élèves de 6e, 5e et 4e du lycée Vauban à Luxembourg, avec leurs professeurs Suzanne Grosse et Elisabeth Koszul.

La première séance en septembre 2017, le congrès 2017 et une séance 2016-2017.

Le sujet de l'atelier est inspiré de l'article La tour de Stockmeyer de Thierry Bousch, chercheur au Laboratoire de Mathématiques de l'Université d'Orsay (article paru au Séminaire Lotharingien de Combinatoire en 2017), lui-même inspiré de l'article Variations on the Four-Post Tower of Hanoi Puzzle de Paul Stockmeyer en 1994.

Règle du jeu

On commence par placer tous les disques (ici 5) sur une tour extérieure, comme sur l'image ci-dessous (image page 3 de l'article de Thierry Bousch) :

Le but du jeu est d'amener tous les disques sur une autre tour extérieure :

en minimisant le nombre de déplacements, avec les règles suivantes :

on ne peut déplacer qu'un seul disque à la fois ;
on peut déplacer un disque d'une tour extérieure à la tour centrale, ou de la tour centrale à une tour extérieure, mais pas d'une tour extérieure à une autre tour extérieure ;
on ne peut pas poser un disque sur un autre disque plus petit.

Ainsi pour 1 disque il faut au minimum 2 coups : un coup pour mettre le disque (qui est au départ sur la tour de gauche par exemple) sur la tour centrale, puis un coup pour le mettre sur la tour de droite.

Pour 2 disques (disons de rayons 2 et 1) il faut au minimum 6 coups : on met le disque 1 sur la tour centrale (coup 1), on met le disque 1 sur la tour du fond (coup 2), on met le disque 2 sur la tour centrale (coup 3), on met le disque 2 sur la tour de droite (coup 4), on met le disque 1 sur la tour centrale (coup 5), on met le disque 1 sur la tour de droite (coup 6).

Cela commence à devenir vraiment intéressant avec 3 disques...

Réalisation du jeu

Matériel :

une tablette en sapin massif, longueur 800mm, largeur 400mm, épaisseur 18mm (7,99 euros à Castorama)
une tige cylindrique de hêtre lisse de diamètre 14mm et de longueur minimum 55cm (longueur 1m, 2,55 euros à Castorama)
une scie sauteuse
une perceuse et des forets à bois
une lime à fer plate et du papier de verre
une lime à fer ronde de diamètre au plus 10mm
de la colle à bois
une scie à chantourner
de la peinture à bois

Réalisation :

réaliser avec une feuille de papier A4 un gabarit comme ci-dessous (largeur 14cm, hauteur de 3,9cm du triangle isocèle à la pointe, et non 3,5cm comme sur la photo), et tracer une ligne au milieu du gabarit :
positionner le gabarit comme ci-dessous sur la tablette. Le clou central doit être à égale distance 20cm des grands côtés de la tablette, et à 15,2cm du petit côté, et un des petits côté du triangle doit coller au petit côté de la tablette. Vérifier qu'en faisant tourner le gabarit, on obtient le même positionnement de l'autre côté. Tracer au crayon de papier le contour du gabarit :
en faisant tourner le gabarit autour du trou central, faire de même pour la "pointe" symétrique et celle au centre de la tablette :
on obtient le tracé ci-dessous pour le socle du jeu :
découper à la scie sauteuse le contour du socle (mettre des gants pour se protéger les mains, des lunettes pour se protéger les yeux, et un casque anti-bruit pour se protéger les oreilles). On percera des trous rapprochés aux angles intérieurs pour pouvoir y démarrer avec la scie sauteuse :
une fois le socle entièrement découpé, lisser les irrégularités avec la lime à fer et poncer au papier de verre :
repositionner le gabarit sur chacune des branches comme suit, le clou central étant au même endroit que précédemment, et le clou extérieur étant à 7.5cm de la pointe du triangle :
couper 4 morceaux de tourillon de longueur 13cm chacun dans le cylindre de hêtre lisse :
percer des trous de diamètre 14mm à l'emplacement des 4 clous (si comme moi on n'a pas de foret de 14mm, percer avec un foret de 10mm ou 12mm et agrandir le trou avec la lime ronde) puis coller les 4 "tours" :
tracer dans le reste de la tablette 5 disques de diamètre 12cm, 10,5cm, 9cm, 7,5cm et 6cm. Si on prend des dimensions différentes, il est important de s'assurer que les 2 plus grands disques peuvent être mis sur une tour extérieure et celle du milieu sans se toucher, donc avec ces dimensions de disques la distance entre 2 tours doit être supérieure à 12/2 + 10,5/2 = 11,25cm. Découper les disques avec une scie à chantourner :
une fois les 5 disques découpés, limés et poncés, percer des trous d'un peu plus de 14mm au milieu de chacun, en s'assurant qu'ils coulissent bien dans les 4 "tours". Ensuite peindre les 5 disques avec des couleurs différentes (on pourra les suspendre sur un fil de fer) :

Variantes

Le The Reve's Puzzle, où il s'agit de déplacer n disques d'une tour à une autre parmi 4, où tous les déplacements d'une tour à une autre sont permis.
La variante cyclique, avec 4 tours A, B, C, D, où on peut déplacer un disque de A vers B, de B vers C, de C vers D, et de D vers A, et où il faut déplacer n disques de A vers C. Le nombre minimal de coups est pour n=1 de 2, pour n=2 de 8, pour n=3 de 18, ...